運用智能光線(xiàn)進(jìn)行物理光學(xué)建模
Frank Wyrowski and Christian Hellmann
光線(xiàn)光學(xué)早在2000年以前就已經(jīng)建立了光學(xué)建模和設計的基礎。而在最近的數十年中，光線(xiàn)追跡軟件的出現為我們帶來(lái)了解決光學(xué)和光子學(xué)問(wèn)題的強大的光學(xué)設計技術(shù)。然而，隨著(zhù)高級光源的開(kāi)發(fā)和應用，微納結構加工工藝的成熟以及各種應用和光學(xué)相關(guān)功能的增強，光線(xiàn)光學(xué)的限制變得越來(lái)越明顯。因此，基于物理光學(xué)的光學(xué)建模技術(shù)變得必不可少，其也是未來(lái)光學(xué)設計軟件開(kāi)發(fā)中順理成章的一步。這就要求我們將光線(xiàn)追跡推廣并將其與衍射建模技術(shù)聯(lián)合起來(lái)。
在光線(xiàn)光學(xué)中，我們使用源于光源的光線(xiàn)來(lái)描述光。數學(xué)上，光線(xiàn)由位置和方向矢量來(lái)表示。光線(xiàn)傳播通過(guò)介質(zhì)，其光學(xué)“阻抗”通過(guò)折射率來(lái)描述。應用此概念，通過(guò)改變光線(xiàn)在空間的方向和位置矢量以此來(lái)表述光的傳播。光在均勻介質(zhì)中沿直線(xiàn)傳播，不同介質(zhì)間界面的折反定律和漸變折射率介質(zhì)中的光線(xiàn)方程，所有這些光線(xiàn)光學(xué)的基本定律都可以從費馬定律中得出。簡(jiǎn)而言之，即光線(xiàn)沿所需最少時(shí)間的路徑傳播�；谫M馬原理的光學(xué)建模構建了光線(xiàn)光學(xué)，從數學(xué)的觀(guān)點(diǎn)出發(fā)，由于光線(xiàn)模型是一個(gè)幾何概念，因此費馬原理同樣適用于幾何光學(xué)。
光線(xiàn)追跡軟件為我們提供了用以光線(xiàn)光學(xué)建模的數值工具。通過(guò)光學(xué)系統的3D光路是一個(gè)典型的通過(guò)光線(xiàn)光學(xué)研究方法獲得的物理量。通過(guò)它，我們可以進(jìn)一步得出任意平面和表面處的點(diǎn)列圖，方向圖以及光程（Fig.1）。這為我們提供了特別是進(jìn)行透鏡系統分析和優(yōu)化所需的所有基本信息，其在光線(xiàn)追跡中大受歡迎。
光線(xiàn)追跡法同樣可應用于非成像光學(xué)。從而，我們需要考慮“能量相關(guān)的”物理量。如，輻照度。從光線(xiàn)光學(xué)來(lái)講，這種局部的能量物理量是與光線(xiàn)的密度和方向相關(guān)的。
Fig.1通過(guò)一個(gè)透鏡系統的光路。在同樣的系統中[4]可以看到電場(chǎng)分量。
從光線(xiàn)到物理光學(xué)
直到現在，所有的效應和量都能夠在幾何光學(xué)的框架中進(jìn)行表示。下一步中，我們探索在兩種介質(zhì)間界面的能量效應，例如，一個(gè)透鏡的表面。眾所周知，在界面處，一部分光被反射回去因此會(huì )造成透射部分能量的損失。4%是空氣和玻璃介質(zhì)間透射能量損失的典型值。似乎我們可以直接將這個(gè)值對每條光線(xiàn)的作用考慮進(jìn)去，進(jìn)而減少在探測平面的探測能量。然而，在我們簡(jiǎn)單的將此損失包含在光線(xiàn)追跡中之前，我們應該考慮其在光線(xiàn)光學(xué)，即費馬原理中的正確性。在介質(zhì)間界面4%的能量損失符合費馬原理嗎？答案是否定的，由于此原理僅處理光程，因此我們無(wú)法在光線(xiàn)光學(xué)的框架中找到這種表面效應的合理解釋。在各種光學(xué)教科書(shū)中，你可以找到菲涅爾方程的推導，其給出了能量透射率T（透射比）和能量反射率R（反射比）的數學(xué)表達式[1]。此推導考慮的是理想電磁場(chǎng)平面波穿過(guò)兩種不同折射率介質(zhì)間的理想平面界面。這個(gè)結論使用了在平面界面處電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量是連續函數的事實(shí)。由此直接推導出菲涅爾方程。而理想平面波以及連續橫向場(chǎng)分量則來(lái)自于麥克斯韋方程組[2]。與完全基于費馬原理的幾何光學(xué)相比，我們是基于麥克斯韋方程組來(lái)考慮物理光學(xué)的。因此，應該依據物理光學(xué)來(lái)解釋在兩種介質(zhì)界面處光能量的損失，并將其附加到光線(xiàn)追跡路徑，已經(jīng)引出了一種聯(lián)合了光線(xiàn)和物理光學(xué)的算法。然而，當將傳統的光線(xiàn)追跡強行的與一種基于物理光學(xué)的效應，如表面處的菲涅爾效應或者光線(xiàn)透過(guò)光柵的傳輸，聯(lián)合起來(lái)的時(shí)候，我們會(huì )面臨一個(gè)典型且嚴重的問(wèn)題。即，除了入射光角度很小的時(shí)候，菲涅爾效應都是與局部偏振相關(guān)的。因此，為了精確地包含菲涅爾效應，簡(jiǎn)單的光線(xiàn)不夠，我們還需要其偏振信息。讀者可能會(huì )問(wèn)道，那么光線(xiàn)追跡軟件是以什么標準來(lái)處理那些問(wèn)題。事實(shí)上是其不可能精確地處理光滑的或者光柵類(lèi)型的表面效應，并且也沒(méi)有包含偏振效應的模型。
傳統光線(xiàn)追跡有許多限制，上文提到的僅是我們想要去克服的其中一種。我們所需要的是使用物理光學(xué)來(lái)表征光線(xiàn)。接下來(lái)我們會(huì )討論從以幾何光學(xué)為基礎的傳統光線(xiàn)過(guò)渡到在物理光學(xué)框架中使用的智能光線(xiàn)。
幾何場(chǎng)追跡
Fig.2光線(xiàn)與光滑表面（左）、散射表面（中）和局部周期表面（右）的相互作用。使用局部平面波來(lái)表征光線(xiàn)。
Fig.2演示了一束光線(xiàn)與曲面的相互作用。如果我們以電磁場(chǎng)平面波來(lái)解釋一束局部光線(xiàn)且將界面局部地作為平面，那么可以局部地應用從物理光學(xué)所獲得的理想平面波與理想平面界面相互作用的結果[3]。因此，我們開(kāi)發(fā)出了一種用于這種局部電磁場(chǎng)平面波概念的算法，即幾何場(chǎng)追跡[4]。此理論來(lái)自于《光學(xué)原理》[5]第三章所提出的結論，并且我們已經(jīng)探討了在幾何場(chǎng)近似條件下使用幾何場(chǎng)追跡[4]來(lái)求解麥克斯韋方程組。對于局部平面波，使用這種近似的方法來(lái)求解麥克斯韋方程組，可以給出波前為主導的場(chǎng)的空間演化區域的精確解。相反，若一個(gè)場(chǎng)的尺寸沒(méi)有遠大于波長(cháng)，則其開(kāi)始受衍射主導且不能使用幾何場(chǎng)追跡來(lái)傳播該場(chǎng)，而需要使用一個(gè)衍射場(chǎng)追跡的方法來(lái)進(jìn)行傳播。換句話(huà)說(shuō)，一個(gè)場(chǎng)的散度可以用其波前的曲率（幾何場(chǎng)追跡）或者通過(guò)橫向和k空間維度間的不確定性原理的擴展（衍射場(chǎng)追跡）來(lái)控制�？臻g中的任意場(chǎng)都有其衍射的和幾何的主導區域，對于不同的區域需要使用合適的建模技術(shù)。如Fig.3，對于傳播經(jīng)過(guò)其焦點(diǎn)的球面波。我們想著(zhù)重的強調的是，我們已經(jīng)應用了能夠自動(dòng)測試幾何場(chǎng)近似有效性的算法以確保選取最合適的建模技術(shù)以用于傳播的各個(gè)區域。
Fig.3 透鏡系統出瞳處一個(gè)截錐球面波通過(guò)其焦點(diǎn)傳播的嚴格一維計算。下圖是上圖焦點(diǎn)區域的放大。球面波的f/#為20。盡管其是一個(gè)旁軸案例，但衍射主要在焦點(diǎn)區域。
在實(shí)際中通過(guò)追跡智能光線(xiàn)來(lái)實(shí)現幾何場(chǎng)追跡，當在VirtualLab Fusion軟件中使用時(shí)，可以獲得以下特性：
智能光線(xiàn)知道其位置處的所有電磁場(chǎng)信息，三個(gè)電場(chǎng)分量和三個(gè)磁場(chǎng)分量的振幅，相位以及偏振信息。
智能光線(xiàn)知道并記住光源平面中附近光線(xiàn)的波前。這通過(guò)一種合適的光線(xiàn)索引概念（波前索引）來(lái)實(shí)現。這個(gè)方法聯(lián)合了不同的橫向插值技術(shù)以用于所用的場(chǎng)量并將這些場(chǎng)量分配到一條光線(xiàn)上去。插值技術(shù)包含了樣條曲線(xiàn)插值和質(zhì)心坐標網(wǎng)格插值。
伴隨智能光線(xiàn)的還有另外一個(gè)索引概念（空間相干索引），其能夠給出智能光線(xiàn)間的相干模式和非相干模式以及其組合模式。這使得我們可以完成對部分相干光的建模。特殊的情況也被包含其中，如完全相干光和非相干光。
為了包含顏色，時(shí)間相干和超短脈沖，我們將頻率分配給智能光線(xiàn)，使用一個(gè)索引概念來(lái)分辨穩態(tài)光和脈沖光的頻率分布（頻率索引）。
通過(guò)追跡智能光線(xiàn)我們獲得麥克斯韋方程組幾何場(chǎng)近似的解[4]。因此，智能光線(xiàn)將傳統光線(xiàn)追跡推廣，并用一種科學(xué)地可靠的方式將其結合到物理光學(xué)建模中。實(shí)際上，至關(guān)重要的是幾何場(chǎng)追跡獲得電磁場(chǎng)結果和傳統光線(xiàn)追跡獲得的結果，如點(diǎn)列圖的速度是一樣快的。
高精度的模擬透鏡系統可以主要依據幾何場(chǎng)追跡，由于透鏡系統旨在傳輸球面波，因此幾何場(chǎng)追跡近似是有效的。如Fig.4所示。智能光線(xiàn)追跡提供了位于最后一個(gè)透鏡后的所有電磁場(chǎng)信息。然而，如前面所討論的（見(jiàn)Fig.3），位于焦面區域的場(chǎng)不滿(mǎn)足幾何場(chǎng)近似。因此，使用智能光線(xiàn)在最后一個(gè)透鏡后獲得的場(chǎng)必須使用衍射技術(shù)傳播到焦點(diǎn)。在標準的光線(xiàn)追跡軟件中，這樣的一個(gè)過(guò)程或多或少的依賴(lài)于軟件包中的點(diǎn)擴散函數（PSF）和調制傳遞函數（MTF）計算工具來(lái)精確地完成。場(chǎng)追跡為此以及其他類(lèi)似的建模任務(wù)提供了一種快速和可靠的物理光學(xué)建模策略。
Fig.4 上面一行顯示的是x方向偏振光經(jīng)過(guò)Fig.1中透鏡系統的最后一個(gè)透鏡后的電場(chǎng)分量E = (Ex,Ey,Ez)。結果包含了一個(gè)從x到y方向較弱的串擾和一個(gè)中等的z分量。此結果是通過(guò)幾何場(chǎng)追跡法在近1秒內獲得的。下面一行是將上面所獲得的幾何場(chǎng)追跡結果衍射傳播到焦點(diǎn)所得到的結果。
模擬散射，光柵以及衍射透鏡
追跡通過(guò)兩種介質(zhì)間的界面的智能光線(xiàn)為幾何近似的有效性提供了一個(gè)簡(jiǎn)單的標準。由于智能光線(xiàn)知道其臨近光線(xiàn)的波前，界面后光線(xiàn)的相交很容易地就被自動(dòng)探測到。相交光線(xiàn)表明波前被破壞了，因此幾何場(chǎng)近似不在有效（Fig.2，中圖）。很明顯地，當光學(xué)表面不是光滑且僅小范圍的進(jìn)行調制則光線(xiàn)會(huì )相交，例如，帶劃痕的透鏡或者一個(gè)散射粗糙表面。此種情況下，光學(xué)界面后的光場(chǎng)需要一種衍射方法以用于繼續傳播。此時(shí)，我們完全得益于統一場(chǎng)追跡概念，其能夠讓我們結合不同的電磁場(chǎng)建模技術(shù)以用于系統不同的區域[6]。
讓我們仔細的看一下一個(gè)散射表面后的衍射傳播技術(shù)。一般情況下我們可以使用傅里葉分析來(lái)將理想平面波分解以生成不同的傳播積分來(lái)探討這種情況。當然，每個(gè)平面波可以通過(guò)幾何場(chǎng)追跡進(jìn)行進(jìn)一步傳播，通過(guò)一個(gè)物理光學(xué)理由和策略將一條輸入光線(xiàn)轉換成大量的輸出光線(xiàn)。如果我們假設光學(xué)界面至少是局部周期性的（Fig.2，右圖），例如，一個(gè)光柵或者衍射透鏡，依據光柵方程，那么僅在離散方向上才有平面波的傅里葉分析結果，如光柵級次。這就允許我們選擇那些感興趣的級次進(jìn)行使用，如一個(gè)衍射透鏡的第一級次。通過(guò)幾何場(chǎng)追跡，就構建了一個(gè)光柵和衍射透鏡的物理光學(xué)建模的簡(jiǎn)單說(shuō)明：通過(guò)智能光線(xiàn)傳播場(chǎng)到光柵或者衍射透鏡，局部光柵效應使用電磁場(chǎng)分析，例如通過(guò)傅里葉模態(tài)法（FMM）[7]，然后由此產(chǎn)生的偏轉的局部電磁場(chǎng)平面波通過(guò)智能光線(xiàn)追跡進(jìn)一步傳播。需要強調的是在模擬光柵和衍射透鏡時(shí)，與傳統光線(xiàn)光學(xué)的準確結合是無(wú)法實(shí)現的，而是要求智能光線(xiàn)提供必要的場(chǎng)信息以處理局部光柵效應。在VirtualLab Fusion中這項技術(shù)已經(jīng)得到了應用，因此能夠使用它來(lái)設計衍射透鏡。然后，衍射透鏡的結構可以以各種格式導出，如用于光刻的GDSII文件。Fig.5演示了一個(gè)用光柵將光耦合進(jìn)和耦合出一個(gè)波板以用于色彩混合。
Fig.5 通過(guò)一個(gè)光柵將RGB光源的光耦合進(jìn)入一個(gè)波板，通過(guò)波板的全內反射進(jìn)行傳播，并使用三個(gè)光柵將光耦合出波板以獲得一個(gè)部分重疊的混合色彩。本次模擬是通過(guò)FMM模擬光柵并使用幾何場(chǎng)追跡的方法來(lái)完成的。上圖顯示了光線(xiàn)傳播和幾何場(chǎng)追跡結果。
干涉和相干建模
Fig.6 Mach-Zehnder干涉儀對于一個(gè)時(shí)間部分相干光源的干涉圖案。此建模是使用幾何場(chǎng)追跡完成的，在PC上對超過(guò)100個(gè)波長(cháng)進(jìn)行計算，用時(shí)在1min以?xún)取?br />
Fig.7 對于一個(gè)不同厚度的薄膜，通過(guò)多重干涉所獲得的反射光的強度結果。使用光源為RGB白光。建模使用的是幾何場(chǎng)追跡，用時(shí)少于1min。
干涉和相干現象需要使用物理光學(xué)建模。因此在傳統光線(xiàn)追跡中自然無(wú)法包含這些現象。由于幾何場(chǎng)追跡是一種物理光學(xué)技術(shù)，因此包含了干涉和相干效應，并可對其進(jìn)行研究。Fig.6顯示的使用綠色LED光源的Mach-Zehnder干涉儀的模擬結果。在干涉儀的臂上分別有一個(gè)玻璃平板和一個(gè)透鏡。對于完全地相干光，我們期望出現一個(gè)完美的對比度環(huán)形干涉圖案。然而，LED光源有大約30nm的帶寬，其會(huì )導致一個(gè)大約10um的時(shí)間相干長(cháng)度。因此，干涉圖案必定會(huì )有一個(gè)不同的對比度。正如干涉儀的幾何場(chǎng)追跡所揭示的一樣。在Fig.7中，顯示的是一個(gè)RGB光源被不同厚度的油膜反射后的結果。這個(gè)建模是通過(guò)在薄膜結構中進(jìn)行非序列幾何場(chǎng)追跡完成的。
綜述
從麥克斯韋方程組出發(fā)，將傳統光線(xiàn)追跡推廣并引出一種物理光學(xué)建模技術(shù)，我們將其稱(chēng)之為幾何場(chǎng)追跡。幾何場(chǎng)追跡可以與包含了麥克斯韋方程組衍射求解器的衍射場(chǎng)追跡技術(shù)無(wú)縫的結合。幾何場(chǎng)追跡建模包含了如偏振，干涉，散斑和相干等物理光學(xué)效應，且與傳統光線(xiàn)追跡速度一樣快。用于光學(xué)軟件VirtualLab Fusion的所有技術(shù)同樣用于[8]中例子。
作者
Frank Wyrowski是Jena的Friedrich Schiller大學(xué)的技術(shù)物理教授以及應用計量物理組的負責人。在1999年他合作創(chuàng )辦了LightTrans公司，并于2014年聯(lián)合創(chuàng )辦了Wyrowski Photonics公司。他喜歡并致力于各種光學(xué)建模和設計任務(wù)，特別是物理光學(xué)領(lǐng)域。其研究成果源源不斷地為光學(xué)設計軟件VirtualLab Fusion的進(jìn)一步開(kāi)發(fā)做出貢獻。
Christian Hellmann是Wyrowski Photonics UG的CEO并且負責VirtualLab Fusion的開(kāi)發(fā)工作。他代表Bosch股份有限公司在Horb的聯(lián)合教育大學(xué)完成他的計算機科學(xué)學(xué)習后加入到了LightTrans股份有限公司。在LightTrans公司其負責光學(xué)建模的編程和算法開(kāi)發(fā)。從2013至2014年，其是LightTrans首席產(chǎn)品官。
參考文獻
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[4] F. Wyrowski, H. Zhong, S. Zhang, and C. Hellmann. Approximate solution of maxwells equations by geometrical optics. In D.G. Smith, F. Wyrowski, and A. Erdmann, editors, Optical Systems Design 2015:Computational Optics, volume 9360 of Proceedings of SPIE, page 963009, SPIE, Bellingham, WA, 2015, 2015
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