了迭代數k。由于實(shí)際原因，我們?yōu)槊總�(gè)平板都引入了一個(gè)正面和背面。對如3中所描述的系統。對應的光路樹(shù)如圖4中所示。樹(shù)的節點(diǎn)與任意矢量的一個(gè)輸入（被加項）或者與在Γj處的解相聯(lián)系。節點(diǎn)之間的聯(lián)系與算子或者有關(guān)。不失一般性，我們假設僅對一個(gè)指數j成立。因此，樹(shù)僅有一個(gè)根節點(diǎn)。
 

忽略虛線(xiàn)鏈接，光路樹(shù)對于計算截斷總和是最合適的（20），因為其僅僅包含了那些必須的算符而相同的算符（求解相同的麥克斯韋問(wèn)題兩次）不會(huì )出現。
 

最后我們將討論一個(gè)用于生自動(dòng)生成光路樹(shù)的算法。特別是我們想基于光線(xiàn)追跡近似使用試驗光線(xiàn)來(lái)檢測稀疏性。首先，我們引入一個(gè)數據集以來(lái)描述試驗光線(xiàn)：

 

現在，對于試驗光線(xiàn)，我們定義兩類(lèi)算子：（i） -對于在Γj上給定的試驗光線(xiàn)，計算試驗光線(xiàn)上域Ωj的效應。（ii） -對于在Γ_i上給定的試驗光線(xiàn)，計算在Γi和Γj之間的自由空間的效應。

 

4.場(chǎng)追跡方法
 

在前面的部分我們已經(jīng)描述了用于求解光學(xué)仿真任務(wù)的基于分解和互聯(lián)技術(shù)的算法。已經(jīng)表明，此算法需要兩類(lèi)算子。算子用于描述任意散射體間的自由空間傳輸，算子描述光學(xué)元件的散射效應。對于這些算子，仍然需要定義顯式的公式。那么問(wèn)題來(lái)了，和 是否必須是嚴格的麥克斯韋方程求解器。如果是，此方法將會(huì )被限制在那些已知的物理光學(xué)上，包括最主流的如有限和邊界元法，有限差分和有限積分技術(shù)。然而，經(jīng)典光學(xué)建模和設計到現在已經(jīng)使用時(shí)數十年了，從中我的知道，幾何光學(xué)方法和其他的近似方法是及其強大的技術(shù)，能夠描述自由空間傳輸和各種重要的光學(xué)元件對諧波場(chǎng)的效應。由于光學(xué)系統的設計可以看做在特定條件下求解局部麥克斯韋問(wèn)題，因此那些近似通常是有效的。對于此約束，一個(gè)經(jīng)典的例子是在經(jīng)典激光系統中發(fā)生的局部傍軸場(chǎng)。因此，實(shí)際經(jīng)驗非常鼓勵我們使用不同的嚴格和近似局部麥克斯韋求解器以求解算子 和 。用于一個(gè)系統子域的任何合適的建模技術(shù)都必須對電磁諧波場(chǎng)公式化。在此必須強調是，在過(guò)去這種方法并未在光學(xué)建模中成為標準。因此系統建模不是基于一種建模技術(shù)，而是多種建模技術(shù)的平滑結合，同時(shí)每個(gè)子域足夠精確。這就是我們所說(shuō)的統一化光學(xué)建模。在此方法中，根據之前給出的方程，諧波場(chǎng)以不同的算子和的形式被追跡通過(guò)系統。我們把這種方法稱(chēng)為場(chǎng)追跡，它是對光線(xiàn)追跡的自然推廣，其中光線(xiàn)追跡是通過(guò)幾何光學(xué)，追跡通過(guò)一個(gè)系統所有子域的光線(xiàn)束�？傊�，分解和互聯(lián)算法，結合在不同的子域中針對和進(jìn)行的諧波場(chǎng)技術(shù)的適當選擇，實(shí)現了場(chǎng)追跡法統一化光學(xué)建模。在光學(xué)系統的建模中，生成的非序列場(chǎng)追跡概念是對非序列光線(xiàn)追跡本質(zhì)的推廣。

 

對于算子 和 ，已經(jīng)在[12]中提出了一些可能的選擇。其中，推導了幾個(gè)自由空間算子并討論了他們的近似特性。算子的一個(gè)嚴格版本可以從z=0處一個(gè)諧波場(chǎng)的平面波分解直接推導而來(lái)。這個(gè)分解過(guò)程可以描述為，將諧波場(chǎng)的任意分量傅里葉變換至k空間[1]：


 

其中k=(kx,ky )，ρ=(x,y)且l=1,…,6。其逆變換如下：

對于平面波算子的推導，我們使用如下的事實(shí)，即每個(gè)平面波的傳輸通過(guò)乘以相位項 [2,5]進(jìn)行描述。方向分量kz表示如下

 

算子定義如下

 

平面波角譜(SPW)算子沒(méi)有引入物理近似。讓我們來(lái)討論其數值特性。光場(chǎng)分量的帶寬在傳輸過(guò)程中是一個(gè)不變量。這可以從嚴格SPW算子（29）中推導出來(lái)。頻譜乘以相位因子exp⁡[ⅈkz]。這一步并不改變頻譜的范圍，也就是光場(chǎng)的帶寬�；�于采樣原理[1]，一個(gè)不變的帶寬可以直接得出結論，即場(chǎng)的（最大）采樣周期在傳輸中也是一個(gè)不變量。為了將（31）應用到一個(gè)采樣場(chǎng)，需要兩個(gè)離散傅里葉變換。對于采樣點(diǎn)數N ，其數值計算量是接近最優(yōu)的（O（NlogN））。采樣點(diǎn)數是基于采樣周期（傳輸過(guò)程中不變）以及輸入和輸出之間最大的場(chǎng)尺寸來(lái)定義的。因此，如果傳輸過(guò)程中場(chǎng)尺寸不明顯變化的話(huà)，SPW算子會(huì )有一個(gè)接近最優(yōu)的數值計算量。這種情況適用于小角度的傍軸場(chǎng)。然而，對于非傍軸場(chǎng)，用來(lái)評估結果的數值計算量變得不現實(shí)。在這種情況下，場(chǎng)尺寸在傳輸后可能比z=0處的場(chǎng)大的多。這就是為什么在可能的情況下必須使用相應的近似算子，，如適合于傍軸情況的菲涅爾算子或者適合于遠場(chǎng)情況遠場(chǎng)算子。在[12]中，已經(jīng)顯示了如何設計一個(gè)選擇合適算子的自動(dòng)程序以產(chǎn)生一個(gè)自動(dòng)選擇的自由空間傳播算子。也可以使用快速邊界元方法來(lái)替代。
 

對于分量傳輸算子，幾何光學(xué)方法被廣泛的使用。關(guān)于他們的討論，也可在[12]中發(fā)現。有限元微分法也可用于。為了理解有限元微分法，[8]中討論了散射問(wèn)題的公式化。讓我們來(lái)簡(jiǎn)短的討論一下效率問(wèn)題。在場(chǎng)追跡的框架中，對一個(gè)子域生成的有限元系統，整個(gè)迭代過(guò)程保持不變。迭代進(jìn)入邊界條件，即，僅在方程的右邊。在場(chǎng)追跡中迭代過(guò)程僅處理一次，而對于不同的右邊部分，同樣的系統需要進(jìn)行多次求解。即，由于計算起來(lái)困難的矩陣分解可以被重復使用，因此使用直接求解器以求解有限元系統這種做法會(huì )非常高效。
 

讓我們在這里討論一個(gè)關(guān)于算子的特殊情況，即算子用于一個(gè)平面界面元件。我們考慮一個(gè)平面邊界介于兩種真實(shí)折射率為n_i和n_t的均勻介質(zhì)間，它位于在z=0處。我們假設邊界垂直于z軸。平面波在xz平面內傳輸，并假設以角度θ_i，從折射率為n_i的材料中入射。由于邊界是無(wú)窮的，在xz平面內傳輸的單一反射和單一透射是通過(guò)相互作用產(chǎn)生的。波沿由角度θi和θt定義的方向傳播。

 

在準二維幾何中，麥克斯韋方程組被分成可分別求解的兩組。一組中僅包含y方向的電場(chǎng)（以及x方向和z方向的磁場(chǎng)），這一組討論的是TE偏振。另外一組僅包含了y方向的磁場(chǎng)以及x和z方向的電場(chǎng)，然后這一組討論的是TM偏振。兩種偏振情況都能給出邊界條件的一個(gè)直接評估�？傊�，例如，TE偏振以及通過(guò)來(lái)表示入射光的復振幅，這個(gè)波可以使用如下形式來(lái)表示