在物理光學(xué)中，我們使用麥克斯韋方程組處理電磁場(chǎng)。為了快速求解該方程組，我們將不同的麥克斯韋算子結合在一個(gè)非序列場(chǎng)追跡概念中。進(jìn)一步的，快速物理光學(xué)概念的支柱是：（1）盡可能在k域求解麥克斯韋方程組。（2）根據處于哪一個(gè)場(chǎng)域，使用常規或幾何傅里葉變換，選擇k域或空間域。（3）通過(guò)所謂的雙向算子仿真光學(xué)組件的效應。（4）幾何雙向算子的引入。這些概念的結合產(chǎn)生了一種物理光學(xué)理論，其具有快速建模算法，該算法固有地以定義明確、有說(shuō)服力的方式應用了幾何和衍射模型。
1.場(chǎng)追跡圖
一個(gè)光學(xué)系統的麥克斯韋方程組的解可以通過(guò)非序列場(chǎng)追跡算法得到[1]。這導致所有通過(guò)系統中不同光路的模擬，都由一系列自由空間傳播步驟和與空間中非均勻區域，例如光學(xué)器件的互作用組成。從光源平面中的場(chǎng)開(kāi)始，自由空間算子P規定了在下一個(gè)組件平面上的場(chǎng)，其中組件的響應由算子B給出。這些算子應用于x域或k域。一個(gè)光路的模型可以由所謂的場(chǎng)追跡圖說(shuō)明，圖1給出了相應的例子。
圖1 物理光學(xué)中一個(gè)光路的場(chǎng)追跡圖模型。參數j指明了應用算子的場(chǎng)參考平面。
盡管電磁場(chǎng)包含六個(gè)場(chǎng)分量，場(chǎng)追跡算法仍然可以通過(guò)ρ=(x,y)，E┴(ρ,ω)=(Ex(ρ,ω), Ey(ρ,ω))正式地表示，缺失的四個(gè)分量可以根據E┴的需求計算。在k域中，這些計算遵循簡(jiǎn)單的代數方程。
自由空間算子方程由 給出，輸入平面場(chǎng)為 ，輸出平面（輸入平面的下一個(gè)算子）的結果為 。如果輸入/輸出平面不平行，則傳播算子P通過(guò)衍射積分和附加的傾斜算子表示自由空間中的傳播[2]。盡管在空間域中，傳播被表示為有大量數值計算成本的衍射積分，但在k域中，對于平行平面和非平行平面的附加坐標變換，我們則有簡(jiǎn)單的表達式（  ）
 (1)
通過(guò)選擇常規或幾何傅里葉變換[3]，可以來(lái)回轉換k域和空間域，不同的衍射積分遵循空間域中的公式1，包括Rayleigh-Sommerfeld、遠場(chǎng)和Debye積分。k域中自由空間傳播的簡(jiǎn)單性是快速物理光學(xué)選擇k域的一個(gè)重要原因。另一個(gè)原因是可以從 快速代數計算 和 。下面將介紹場(chǎng)追跡算法中的B算子。
2.雙向算子
空間域中我們有B算子  ，并且類(lèi)似的在k域中有  。兩個(gè)域中的算子都有矩陣形式，例如k域為
 (2)
這個(gè)矩陣中每一個(gè)算子都代表一個(gè)積分運算符，例如k域中有如下積分形式（忽略ω）
 (3)
其中K²代表輸入組件的一系列k值， V為場(chǎng)分量的位置標識符， B表示公式2中一個(gè)矩陣元素的積分核函數。因為(kx,ky)代表k域中傳輸的平面波的方向，在K²的子集中核函數  也可以被理解成方向角度的函數，說(shuō)明了B是電磁場(chǎng)的雙向散射分配函數（BSDF）的概括，盡管BSDF僅僅闡述了場(chǎng)能量效應。
圖2 上圖展示了正弦表面光柵中的場(chǎng)，通過(guò)有限元方法（FEM）計算。此外，也使用了局部平面近似（LPIA）方法計算。在下圖中展示了兩種方法的結果，平面中結果場(chǎng)的振幅標為紅色。由Rui Shi提供。
這必然被包含在了公式3中。因為BSDF的關(guān)系，我們選擇 作為雙向算子或者簡(jiǎn)化B算子�？偟膩�(lái)說(shuō)，計算B(k,k')和它在公式3中積分計算的應用需要大量的數值計算而且很慢。但是，在分層介質(zhì)情況下，我們可以得到簡(jiǎn)化的形式  ，減少了乘積的積分，并且能夠快速計算k域中的算子[4]。如果我們考慮Hirchhoff邊界條件下的孔徑效應，空間域中算子B則變成簡(jiǎn)單的因子形式，繼而我們可以在x域中通過(guò)選擇合適的傅里葉變化來(lái)模擬這個(gè)效應，這在圖1中通過(guò)第一個(gè)B算子解釋了。當然光學(xué)的主要任務(wù)是研究電磁場(chǎng)傳播通過(guò)兩種介質(zhì)間的一般表面，例如透鏡模型。
3.幾何算子
一般表面對場(chǎng)的影響可以通過(guò)有限元法（FEM）來(lái)計算，但是對于大多數情況來(lái)說(shuō)，數值計算成本太高。如果表面的結構不是很小，在大多數實(shí)際情況中通過(guò)所謂的局部平面近似（LPIA）方法計算B算子可以得到足夠的精度[5]。在這種近似中，電磁場(chǎng)的邊界條件利用分層介質(zhì)的已知解進(jìn)行局部計算。圖2比較了正弦表面光柵時(shí)FMM和LPIA的計算結果，結果顯示LPIA對該效應預測的很好，即使是表面上非常小的特征。事實(shí)上，我們發(fā)現LPIA是計算公式3中B(k,k')包括矢量效應（公式2）的有力手段。需要注意的是，著(zhù)名的薄元近似（TEA）方法是LPIA的簡(jiǎn)化特例。盡管LPIA可以計算雙向算子，我們仍然需要進(jìn)行公式3中大量的數值積分計算。這導致了LPIA和幾何傅里葉變換的結合[3]。如果我們假設輸入場(chǎng)  和輸出場(chǎng)  在它們的幾何場(chǎng)域，它們遵循幾何傅里葉變換理論
 (4)
公式3中的積分再一次簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)單的乘積，其中包括了坐標變換k(k')。根據幾何傅里葉變換理論，這個(gè)變換由輸入場(chǎng)的波陣面相位計算得到。我們將公式4中的算子稱(chēng)為幾何算子。這個(gè)結果已經(jīng)于VirtualLab Fusion中實(shí)現。如果場(chǎng)處于其幾何或衍射區域，則可以在任何平面進(jìn)行數值測試。根據結果，應用了不同的傅里葉變換，也以不同的方式應用了B算子。這造成了基于純數學(xué)論證的衍射和幾何模型自然而然地應用。建模始終完全基于物理光學(xué)并在數值效率方面進(jìn)行了優(yōu)化。
參考文獻
[1] M. Kuhn, F. Wyrowski, and C. Hellmann, in vol. 66 of Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics, pp. 257 (Springer Berlin Heidelberg, 2013)
[2] S. Zhang, D. Asoubar, C. Hellmann, and F. Wyrowski, Appl. Opt. 55(3), 529 (2016).
[3] F. Wyrowski and C. Hellmann, Proc. DGao, vol. 118, A37 (2017).
[4] S. Zhang, C. Hellmann, and F. Wyrowski, Appl. Opt. 56(15), 4566 (2017).
[5] A. Pfeil, F. Wyrowski, A. Drauschke, and H. Aagedal, Appl. Opt. 39(19), 3304(2000).
[6] Fast physical optics software “Wyrowski VirtualLab Fusion”, developed by Wyrowski Photonics UG, distributed by LightTrans GmbH, Jena, Germany.
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