我們提出了一種處理傅里葉變換的方法，其并不需要二次多項式相位項的抽樣，而是用解析的方法處理。我們提出該理論的同時(shí)也給出了幾個(gè)例子證明其潛力。
1.簡(jiǎn)介
物理光學(xué)建模需要頻繁地從空間轉換到角頻域，反之亦然。這可以由電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量的傅里葉變換得到。所以，快速傅里葉變換（FFT）算法成了快速物理光學(xué)建模的支柱[1]。FFT技術(shù)的數值計算量與場(chǎng)分量復振幅所需采樣點(diǎn)的數量近似成線(xiàn)性關(guān)系。在光學(xué)中，我們經(jīng)常處理有強波陣面相位的場(chǎng)分量，例如：球形。但是由于2π模，平滑的波陣面相位的復抽樣導致了大量的數值計算工作，甚至在FFT中也是如此。
2.理論
2.1 場(chǎng)的表征：提取二次相位
我們從空間域的符號開(kāi)始，在本文中我們使用符號  對應6個(gè)場(chǎng)分量，也就是V = (E, H)：
 (1)
在公式1中，我們假設場(chǎng)  有兩部分：衍射場(chǎng)  和一個(gè)平滑的波陣面相位exp(iψ(ρ))。對于得到的結果，我們從波陣面相位中提取二次相位exp(iψ(ρ))并且將余下的部分認為是余項場(chǎng)  。假設exp(iψ(ρ))可由其實(shí)數系數C和D = (Dx, Dy)給出：
 (2)
顯然，在強二次相位情況中，全場(chǎng) 比余項場(chǎng)需要更多的抽樣量。所以，我們的目標是通過(guò)FFT且無(wú)二次相位項exp(iψ(ρ))抽樣的情況下，計算V(ρ)的傅里葉變換。
2.2.半解析傅里葉變換
從卷積定理可知：
 (3)
通常來(lái)說(shuō)，項  必須進(jìn)行數值計算處理。另一方面，從數學(xué)角度[2]我們可知：
 (4)
適用于任何復  ，只要R{a} ≥ 0且a ≠ 0。
在該數學(xué)工具的幫助下，項κ[exp(iψ(ρ))]的解析表征可以推導出來(lái)：
 (5)
其中：
 (6)
其中常數項  。
將公式5帶入公式3，通過(guò)改變卷積和傅里葉變換積分的階次，我們發(fā)現  可以表示為：
 (7)
其中：
 (8)
這里，  和坐標項  。公式7-8是半解析傅里葉變換的數學(xué)表達式。它表示全場(chǎng)的FFT可被兩個(gè)余項場(chǎng)的FFT替代。
3.數值仿真
這些概念在物理光學(xué)建模和設計軟件Wyrowski VirtualLab Fusion[3]中實(shí)現。
3.1.有效性測試1：純二次相位
在第一組測試中，我們準備了余項場(chǎng) ，其幅度信息如圖1所示，且相位為零。我們將不同的二次相位項exp(iψq(ρ))與之相乘，組成 。然后我們分別對全場(chǎng) 應用FFT和半解析FFT。
圖2展示了不同情況下FFT和半解析FFT所需的采樣點(diǎn)�？梢园l(fā)現當場(chǎng)有強二次相位時(shí)，半解析FFT需要比FFT少得多的抽樣點(diǎn)。
在圖3中我們給出了三個(gè)典型位置的角頻譜的振幅。解釋了波陣面相位的物理意義，因此當波陣面相位非常小時(shí)，在FT中衍射效應占主導地位。否則，當波陣面相位增加時(shí)，FT展現了越來(lái)越多的幾何特征。
3.2 有效性測試2：球形相位
在第二組中，我們將乘上另一種相位：球形相位  。
不像測試1，我們只能用解析方法處理二次部分而不能處理整個(gè)球形相位。所以，余項場(chǎng)的相位不再是零而是球形和二次相位之間的差值，并且它會(huì )隨著(zhù)球半徑r的減小而越來(lái)越大。
不同情況下FFT和半解析FFT的抽樣點(diǎn)于圖4給出。結果顯示在強球形相位情況下，由于相位差， 需要更多的抽樣點(diǎn)，這導致了半解析FT的抽樣數量同樣增加了。
4.結論
我們論證了半解析FFT的推導并且展示了幾個(gè)數值例子。事實(shí)表明，半解析FFT的采樣僅取決于余項場(chǎng)。在波陣面相位較強的場(chǎng)中，半解析FFT需要的采樣點(diǎn)明顯較少。
參考文獻
[1] E. O. Brigham, “The fast Fourier transform and its applications.” (1988).
[2] L. Mandel and E. Wolf, Optical coherence and quantum optics (Cambridge university press, 1995).
[3] “Wyrowski VirtualLab Fusion, developed by Wyrowski Photonics UG, distributed by LightTrans GmbH,”.
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