| 在數字上更方便。代替了方程（2）和（4）中的兩個(gè)FFT, 這兩個(gè)FFT被用于處理標準SPW算子中數值工作量的巨大光場(chǎng)，修改后的算子執行三個(gè)簡(jiǎn)單的FFT。盡管如此，一個(gè)額外的FFT步驟是必要的：二次相位項的解析處理。式（15）導致新算符的數值性能提升。與SPW傳播算子相反，增大的傳播距離主要是給半解析SPW算子引入一個(gè)慢振蕩相位項。這種較慢的相位振蕩可以減少采樣工作。
然而，在等式（8）中由高階相位函數  引起的相位振蕩仍會(huì )隨著(zhù)距離的增加能變大。Mansuripur[6]在其工作中已經(jīng)提到，通過(guò)對kz使用更方便的拋物線(xiàn)擬合方法，而不是如等式（6）中的泰勒展開(kāi)，可以顯著(zhù)減少高階的影響。根據抽樣原理[15]，我們不應關(guān)注不是高階函數本身而是其梯度  的最大絕對值。通過(guò)最小化其梯度  最大值以達到最佳的數值效果。
基于這一思想，Mansuripur在其出版物[6]的附錄A中提出了一種先進(jìn)的擬合方法。然而，它只是優(yōu)化拋物線(xiàn)的斜率，而不是頂點(diǎn)偏移。此外，這項技術(shù)還需要解一個(gè)方程，包括不同指數的冪函數，這只能用數值方法來(lái)實(shí)現。
一種拋物線(xiàn)擬合方法可以得到更強大的分析方法，van der Avoort等人使用了這種方法[7]在完全不同的背景下。據此，球相函數可以寫(xiě)成
相對于最大空間頻率Kmax的絕對值進(jìn)行歸一化。式（17）的兩個(gè)擬合參數由[7]得到
圖3(a)說(shuō)明了用泰勒展開(kāi)式的前兩個(gè)項（式（6）、式（17）的Avoort擬合和Mansuripur的擬合技術(shù)對kmax的一維例子的球面相位函數的擬合。相應的高階相位函數；如圖3（b）所示。在這里，Avoort擬合的特征是最小化梯度的曲線(xiàn)，這使得所有高階相位函數的影響最小。因此，Avoort擬合能做到在公式（8）中僅需求對修改后的角譜進(jìn)行最小努力的采樣。請注意，在低空間頻率情況下的不完全Avoort擬合與采樣無(wú)關(guān)，因為它的梯度很小。與Mansuripur擬合相比，本文給出了Avoort擬合的解析表達式。
到目前為止，由式（3）的球形傳播核引起的球面相位項用式（21）進(jìn)行了解析處理。通常情況下，對于直徑較小，因而發(fā)散較大的場(chǎng)，球面傳播核的采樣占主導地位。接下來(lái)，我們轉向光場(chǎng)，在傳播之前，光場(chǎng)已經(jīng)有了一個(gè)很強的球面相位。例如，這出現在透鏡系統的出射光瞳中。在這種情況下，初始諧波場(chǎng)包含一個(gè)強球形相位，并且可以有效地利用半解析SPW傳播算子對球相項的數值傳播進(jìn)行反演。為此，公式（21）重新排列為
圖3 根據Taylor、Avoort和Mansuripur擬合球面相位函數kz。
（a）一維球函數及其相應的拋物線(xiàn)擬合曲線(xiàn)。
（b）（b）高階相位函數，從球面函數中減去拋物線(xiàn)擬合函數。
A*B表示卷積積分
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