Frank Wyrowski* and Christian Hellmann**
*Applied Computational Optics Group, Institut fur Angewandte Physik, Friedrich-Schiller-Universitat Jena
**Wyrowski Photonics UG
mailto:frank.wyrowski@uni-jena.de
在系統的不同平面上，電磁場(chǎng)分量的傅里葉變換是連接空間域和k域的物理光學(xué)建模中的頻繁操作。我們介紹一個(gè)場(chǎng)所謂的幾何區域，在該區域中傅里葉變換可以在不進(jìn)行積分的情況下得到，總之是以非常有效的數值方式得到。在幾何場(chǎng)域中，場(chǎng)由波前相位控制，因此允許我們將穩定相位的概念應用于傅里葉變換積分，我們將所得到的傅里葉變換算法稱(chēng)為幾何傅立葉變換，這項技術(shù)被證明是快速物理光學(xué)的基礎支柱。
1.光學(xué)傅立葉變換
在物理光學(xué)中，我們處理電磁場(chǎng)的六個(gè)復數場(chǎng)分量（分別為E和H）。在空間域，他們表示為
其中  ，傅立葉變換到k域定義為
 （2）
其中，我們使用符號
 (3)
方程2中積分的數值評估需要對a和k域中的場(chǎng)進(jìn)行取樣，我們用N表示采樣點(diǎn)的數量，所得的離散傅里葉變換構成了N 2運算。然而快速傅里葉變換（FFT）算法在N中是線(xiàn)性的，這在原理上使快速物理光學(xué)建模成為可能，但FFT需要  的采樣。在光學(xué)中，我們通常有強梯度的相位函數，從而導致很大的N值，只有在十分對稱(chēng)的光學(xué)系統中，N才可以很小。因此，盡管FFT在N中是線(xiàn)性的，但是我們很容易在光學(xué)上遇到N太大而不能進(jìn)行快速計算傅里葉變換的問(wèn)題，這是快速物理光學(xué)概念的嚴重阻礙。
為了進(jìn)一步研究，我們用波前相位Ψ將  分解（跳過(guò)ω）為
 (4)
對于所有分量都是一樣的。 顯然，方程 4中的分解是模糊的，其依賴(lài)于從源場(chǎng)出發(fā)建模中恰當的相位處理方式。由定義  得分解結果
 (5)
類(lèi)似地，我們可以得到
 (6)
其中波前相位  在k域上。應該提到的是，根據方程 5與 在幾何光學(xué)上是已知的，然后  ，S為光程函數。我們想強調的是，方程 5的分解在物理光學(xué)中是更一般和純粹的數學(xué)方法，我們的目標可以表述如下：我們對不通過(guò)采樣波前相位因素來(lái)進(jìn)行傅里葉變換的技術(shù)十分感興趣，此時(shí)Ψ和 是可通過(guò)半解析傅里葉變換實(shí)現的二次多項式的形式[1]。這里我們想討論一個(gè)概念，適用于一般的波前相位，但在強波前相位近似，它使用穩定相位的概念。
2 幾何傅里葉變換理論
穩定相方法的應用在光學(xué)中是眾所周知的，例如，用于討論[2]中的衍射積分。我們將其用于快速計算方程2的傅里葉變換積分。為此，我們假設除臨界點(diǎn)附近以外  在通過(guò)z的平面內具有比U（ρ，z）高得多的空間頻率。 根據穩定相位的概念，直接導致基本方程（跳過(guò)z )
 (7)
其中  方程7表示k和p之間的映射，我們假設這個(gè)映射是開(kāi)放、雙射和連續的，這意味著(zhù)它構成了一個(gè)同胚，這是波前相位 平滑的數學(xué)表達式，并確保k域中的結果場(chǎng)可以在非等距網(wǎng)格上插值。在光學(xué)中，當場(chǎng)不在苛性區時(shí)，通常滿(mǎn)足這種條件，穩定相位的概念也揭示出來(lái)
 (8)
由φ(p)的勒讓變換
 (9)
復函數
 (10)
權重因子  取決于φ(p)的二階導數，該結果通過(guò)將空間域中的場(chǎng)值映射到具有附加權重因子的k域來(lái)表示傅里葉變換，其僅作為映射本身而依賴(lài)于波前相位。因此，傅里葉變換主要執行場(chǎng)分布的幾何畸變，我們稱(chēng)之為幾何傅里葉變換。
我們已經(jīng)開(kāi)發(fā)了一個(gè)數值算法來(lái)執行幾何傅里葉變換。它利用場(chǎng)的混合采樣。相比于函數  ，波前相位φ(p)本身可以通過(guò)少量N(φ)的非等距分布值而參數化。樣條插值的節點(diǎn)是可能的候選項。
而且，我們必須用等距分布的采樣點(diǎn)N(U)來(lái)處理函數U(p)的采樣。一般來(lái)說(shuō)，我們有  ，幾何傅里葉變換的數值主要基于 中的線(xiàn)性運算，因此速度非�？�；N(U)中U值的智能包也可以快速完成，V的采樣可以完全避免�？傊�，當幾何傅立葉變換足夠精確時(shí)，由此產(chǎn)生的數值算法能夠實(shí)現非�？焖俚母道锶~變換，對于強波前相位來(lái)說(shuō)就是這種情況。
對于較弱的波前相位，半解析傅里葉變換也適用而快速[1]。連同數值上對于非常弱的波前相位有效的常規FFT，我們獲得了一個(gè)強大的三元組來(lái)處理所有相關(guān)傅里葉變換的情況。它在VirtualLab Fusion的第二代技術(shù)更新中得以實(shí)現，構成了其快速物理光學(xué)技術(shù)的基礎[3]，例如古伊相移就是用這個(gè)概念來(lái)研究的[4]。
3 衍射、幾何和遠場(chǎng)區域
我們來(lái)考慮平面z中的一個(gè)場(chǎng)，它可以通過(guò)幾何傅立葉變換以足夠的精度（由質(zhì)量標準來(lái)指定）進(jìn)行變換。那么我們說(shuō)該平面位于幾何區域（GFZ），否則場(chǎng)在其衍射區（DFZ） 。自然地，衍射場(chǎng)區域位于焦點(diǎn)區域附近，而GFZ出現在距焦點(diǎn)區域較遠處。如果場(chǎng)進(jìn)一步傳播，則可達到形成幾何區域子集的遠場(chǎng)區。在幾何區域中，我們不限制波前相位 ，這意味著(zhù)我們也包括像差。如果幾何傅立葉變換為球面的 提供準確的結果，則已經(jīng)達到遠場(chǎng)區域，如表1中概括。對于一個(gè)衍射受限場(chǎng)，幾何場(chǎng)和遠場(chǎng)區是相同的，應該強調的是，在每個(gè)平面上，場(chǎng)的區域特征可以通過(guò)幾何傅里葉變換來(lái)研究，這構成了一個(gè)純粹的數學(xué)概念。事實(shí)證明，在場(chǎng)的幾何區域中的物理光學(xué)建�？梢院芸斓貓绦�，因為數值上其主要涉及相對較小的波前相位樣本數量 。
表1 場(chǎng)域的定義
參考文獻
[1] Z. Wang, S. Zhang, and F. Wyrowski, "The semi-analytical Fast Fouruer Transform," in Proc. DGaO, vol. 118, p. P2 (2017).
[2] J. J. Stamnes, Waves in focal regions. Propagation, diffraction and focusing of light, sound and water waves (Adam Hilger, Bristol and Boston, 1986).
[3] Fast physical optics software "Wyrowski VirtualLab Fusion", developed by Wyrowski Photonics UG, distributed by LightTrans GmbH, Jena, Germany.
[4] O. Baladron-Zorita and F. Wyrowski, "The Role of the Gouy Phase Anomaly in the Unification of the Geometric and Physical Models for the Propagation of Focussed Fields, " in Proc. DGaO, vol. 118, p. P3 (2017).
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