模擬光線(xiàn)的相干特性非常意義的。當用FRED模擬相干系統時(shí)，用戶(hù)應該對FRED進(jìn)行相干計算的方法有一個(gè)大致的了解，它是利用高斯光束分解（GBD）的一種一般形式。本應用描述了一些在使用FRED時(shí)基本的相干建模方法和注意事項，以及一個(gè)應用于ThorLabs擴束器的相干場(chǎng)重新采樣特性的一個(gè)示例，最后，衍射儀用于演示一個(gè)部分相干性模型。
FRED基礎：相干性建模
FRED關(guān)于激光光束的追跡采用高斯光束分解技術(shù)（Gaussian beam decomposition，GBD）來(lái)傳輸相干場(chǎng)，最早由Arnaud 在1969年提出，是一組高斯光束子波(beamlet)可以合成任意的復數場(chǎng)。傳統的GBD方法局限在兩種極端情況下，一種是空間分解法，子波均勻分布在格子點(diǎn)上，另一種是傅里葉分解，根據空間頻率譜分解為在一個(gè)空間位置具有不同相位和方向的子光束。對此，Gabor對Arnaud的方法進(jìn)行了擴展，并用在FRED中，允許這兩種方法結合起來(lái)以一種更加靈活的方式來(lái)拓寬使用條件。
在FRED中，由高斯子光束的疊加來(lái)描述光的的傳播。中心的“Base”光線(xiàn)代表著(zhù)子光束的傳輸軌跡，額外的二級“束腰”和“發(fā)散”光線(xiàn)記錄子光束參數的變化。子光束和它對應的光線(xiàn)的關(guān)系如下圖所示。當子光束經(jīng)過(guò)折射、反射和衍射，這些光線(xiàn)完全描述了該子光束特性，因此這個(gè)過(guò)程被稱(chēng)為“complex raytracing.”。在系統中的任何平面，通過(guò)確定在分析面上的每個(gè)位置處每個(gè)子光束的貢獻和對相位的比例來(lái)計算相干場(chǎng)。
因為它們是高斯型的，子光束服從與遠場(chǎng)發(fā)散半角θ和最小束腰半徑ω0有關(guān)的方程（其中λ是波長(cháng)，n是介質(zhì)的折射率）：
(1)
子光束的半徑
在傳播過(guò)程中變化，與束腰光線(xiàn)高度hw和發(fā)散光高度hd有關(guān)：
(2)
其中光線(xiàn)高度相對于Base ray。
為使模型變得精確，它們必須要保持高斯型并遵循近軸近似，這是相干光線(xiàn)追跡中最重要的考慮因素。嘗試在近軸限制之外操作高斯子光束傳播會(huì )使準確性大打折扣。二級光線(xiàn)未能保持與它們的Base Rays好的相關(guān)性可能會(huì )導致相干光誤差和錯誤的輻照度計算。
雖然沒(méi)有精確的定義，近軸近似可以使用至少兩種形式描述：
。在這兩種情況中，對于 一個(gè)合適的選擇是0.1弧度，大約為6度。根據公式1，近軸近似最明顯的隱意是子光束的束腰半徑ω0必須大于等于3 。在實(shí)際使用中，用戶(hù)應該考慮具有一定余量的操作，可能是5-10 。通過(guò)追跡二級光線(xiàn)并計算光學(xué)不變量H’nU - HnU’（其中H是光線(xiàn)高度，n是材料折射率，U是
），FRED記錄了子光束的相位。如果對于一個(gè)給定的相干光線(xiàn)不變量超出了 ，則用于計算的光線(xiàn)會(huì )被告知無(wú)效。不變量作為一個(gè)內部尺度，告訴了子光束的好壞程度。
當定義好一個(gè)相干光源，FRED設置了一個(gè)光線(xiàn)網(wǎng)格，并使用網(wǎng)格間距 （這是網(wǎng)格的寬度 被穿過(guò)網(wǎng)格的光線(xiàn)數 劃分所得），和一個(gè)光束重疊因子（OF）來(lái)設置子光束的束腰半徑 ，如方程3和4所示。隨機光線(xiàn)網(wǎng)格不應該被用于相干源，因為網(wǎng)格間距不均衡，將會(huì )產(chǎn)生不同的束腰半徑。對于網(wǎng)格寬度和光線(xiàn)數中的x和y值可單獨控制。在FRED追跡光線(xiàn)的
點(diǎn)處，子光束的束腰半徑是：
(3)
使用更常見(jiàn)的
束腰半徑慣例增加了一個(gè)額外的因素，
(4)
重疊因子是在網(wǎng)格上相鄰子束之間的部分重疊，并具有1.5的默認值（很少改變）。因此，要保持 的近軸限制內，對于可見(jiàn)光（λ=0.5 μm），網(wǎng)格間距應該是
，一個(gè)更加合理的范圍為5-10μm。
鎖定FRED特點(diǎn)：相干場(chǎng)重采樣
有某些情況下，當使用正確定義的相干光源仍然會(huì )導致相干光線(xiàn)的錯誤。在這個(gè)例子中，一個(gè)Thorlabs 5倍擴束器（BE05M）用來(lái)演示FRED的相干光場(chǎng)重采樣特征，以及其他一些有用的工具。
通過(guò)導入由Thorlabs提供的CAD文件，并且用FRED自帶的透鏡元件及光學(xué)特性來(lái)代替光學(xué)CAD部分，我們可以在FRED中模擬擴束器。圖2顯示了使用3D剖面圖顯示系統布局。
圖2 一個(gè)Thorlabs 5倍擴束器的FRED模型。FRED的3D剖面圖用于顯示外殼的內部構造。
相干光源定義
在FRED中有一些默認的光源，包括平行光源，點(diǎn)光源，高斯TEM00模激光束和激光二極管光束。相干的高斯He-Ne激光束用于這個(gè)例子。一個(gè)高斯光束的輸入參數有光束大�。ㄊ肟讖剑�、網(wǎng)格大�。ㄔ诓蓸悠矫嫣幍难堪肟讖剑┖驼麄�(gè)平面上點(diǎn)的數目。一個(gè)好的經(jīng)驗法則是設定光束大�。ㄊ霃剑榫W(wǎng)格尺寸的一半。在這個(gè)例子中，光束被定義為圓形，在2mm*2mm的每個(gè)方向有41條光線(xiàn)穿過(guò)的網(wǎng)格上（W），束腰半徑是0.5mm（直徑1mm）。這是一個(gè)完全有效的相干光源定義。它的子光束有大約41.7μm的束腰半徑，遠大于6.328μm的10 邊界；同時(shí)有0.28°的發(fā)散角（ ），遠小于6°的近軸限制。
在 點(diǎn)（方程4）處的束腰半徑是：
子光束發(fā)散角為：
高斯光線(xiàn)尺寸點(diǎn)列圖工具
FRED的高斯光線(xiàn)尺寸點(diǎn)列圖工具對于檢驗高斯子光束特性、可視化二級光線(xiàn)位置和診斷相干光線(xiàn)的錯誤非常有用。該工具利用對應的1/e2橢圓來(lái)繪制基準光線(xiàn)。盡管沒(méi)有明確繪制，二級束腰光線(xiàn)沿著(zhù)該橢圓一般有4個(gè)，在 和 方向。FRED在高斯光線(xiàn)尺寸點(diǎn)圖中繪制了一個(gè)1/e2束腰光線(xiàn)橢圓，但是在光線(xiàn)追跡中使用了沿著(zhù)稍小的1/eπ/2橢圓的二級光線(xiàn)。圖3顯示了在兩個(gè)位置處激光光源的高斯點(diǎn)圖：(a)在光源處，(b)在下游的650mm處�；鶞使饩�(xiàn)是完全準直的，但激光光束本身是發(fā)散的，這可以通過(guò)注意1/e2橢圓（在這種情況下圓形）已傳播650毫米后尺寸的增加來(lái)觀(guān)察。
圖3 高斯光線(xiàn)尺寸點(diǎn)列圖，放大的中心用以顯示細節。(a)在光源位置。(b)當光束傳播了650mm后，輪廓如最右邊的子光束�；鶞使饩�(xiàn)準直，二次光線(xiàn)發(fā)散。
假設擴束器是光學(xué)系統的一部分，它需要第一表面距離激光源650毫米。一個(gè)例子是馬赫澤德干涉儀，在其臂處有不同的光束尺寸，如圖4所示。
圖4 馬赫澤德干涉儀的FRED模型，在一個(gè)臂處有擴束器。
仔細觀(guān)察圖3b，發(fā)現子光束輪廓直徑大約是6mm。擴束器的發(fā)散透鏡只有5mm的直徑。因此推斷二級光線(xiàn)被略去的似乎是合理的，但情況并不是這樣的。復合光線(xiàn)追跡的基本準則之一是：如果基準光線(xiàn)與一個(gè)表面相交，然后所有它的二級光線(xiàn)一定與同樣的表面相交。通過(guò)在數學(xué)上延展表面與每個(gè)二級光線(xiàn)相交，如圖5所示，FRED強制執行該準則。當執行光線(xiàn)追跡時(shí)，所有的光線(xiàn)通過(guò)該表面。
圖5 光學(xué)表面的數學(xué)延伸算法，用于與不和實(shí)際表面相交的二級光線(xiàn)相交。
有三種類(lèi)型的相干光線(xiàn)的錯誤（在下面的部分中討論），如果它是不能正確地傳播的光線(xiàn)，在光線(xiàn)追跡后，FRED只顯示了一個(gè)警告。就好像如果它無(wú)法在數學(xué)上延伸必要的表面，它就會(huì )發(fā)生。在執行分析時(shí)，另外兩個(gè)相干光線(xiàn)錯誤只會(huì )產(chǎn)生一次警告。在擴束器的情況下，該追跡的光線(xiàn)沒(méi)有錯誤或警告，這是由于透鏡的球面很容易擴展。但是當執行分析時(shí)，問(wèn)題升級了，因為二級光線(xiàn)不再與基準光線(xiàn)良好相關(guān)，子光束從完美的高斯型變成了過(guò)于發(fā)散。
光線(xiàn)狀態(tài)
FRED的光線(xiàn)狀態(tài)工具處理問(wèn)題非常方便，如該擴束器模型，其中有一個(gè)問(wèn)題，但細節和原因還不清楚。光線(xiàn)狀態(tài)會(huì )輸出目前系統中所有光線(xiàn)的狀態(tài)，如圖6所示。有三種類(lèi)型的相干光線(xiàn)錯誤：
1.相干二級光線(xiàn)追跡錯誤（Coherent secondary ray raytrace errors:）：這表明，在光線(xiàn)追跡的過(guò)程中，發(fā)生了一些事件阻止了所有光線(xiàn)被正確追跡。在光線(xiàn)追跡完成后，描述了特定問(wèn)題的一個(gè)警告呈現在輸出窗口的光線(xiàn)追跡摘要中。舉個(gè)例子，如果一個(gè)基準光線(xiàn)穿過(guò)了一個(gè)球透鏡，但是二級光線(xiàn)與該透鏡沒(méi)有相交，延伸光學(xué)表面使得二級光線(xiàn)產(chǎn)生相交是不可能的，然后FRED會(huì )輸出如下的消息：“Rays halted because unable to complete coherent secondary ray intersection(warn: 18)”。
2. 相干二級光線(xiàn)不變量違規(Coherent secondary ray invariant violations)：當子光束偏離高斯光束太遠，這個(gè)錯誤就會(huì )產(chǎn)生。當光線(xiàn)追跡完成時(shí)，沒(méi)有錯誤或警告，嘗試分析時(shí)會(huì )產(chǎn)生一次。
3. 相干光線(xiàn)高斯指數衰減違規（Coherent ray Gaussian exponential decay violations）：此錯誤非常類(lèi)似于前一個(gè)，但表示該子光束已經(jīng)變得太發(fā)散。直到嘗試分析時(shí)，才會(huì )報告一些錯誤或警告。
在擴束器的例子中，所有1313條光線(xiàn)違反二級光線(xiàn)不變量和高斯指數衰減，因此是無(wú)效的。如圖6所示，概要顯示了在光線(xiàn)追跡過(guò)程中可能產(chǎn)生的錯誤，這在對系統進(jìn)行故障排除時(shí)作為切入點(diǎn)是很有用的。
圖6 輸出窗口顯示了光線(xiàn)狀態(tài)概中相干光線(xiàn)錯誤要結果
相干場(chǎng)重新采樣
相干光場(chǎng)重采樣特征可以用來(lái)解決相干光線(xiàn)的錯誤，通過(guò)計算和產(chǎn)生一組新的在擴展空間區域重現當前標量場(chǎng)相干光線(xiàn)。新光線(xiàn)歸納起來(lái)產(chǎn)生相同的場(chǎng)，但新合成的子光束重新定義了束腰和發(fā)散角。這類(lèi)似于產(chǎn)生具有性能良好的子光束的一個(gè)全新的光源。面積、像素大小和重新采樣網(wǎng)格的位置由一個(gè)分析表面實(shí)體指定。這些參數，就像是光源創(chuàng )建網(wǎng)格，決定了子光束的屬性。因此，在定義一個(gè)光源時(shí)，關(guān)于像素尺寸和間距應該有相同的考慮。相干光場(chǎng)重采樣執行以下操作：波前計算，任何球形和傾斜項的去除，光場(chǎng)的重新采樣，球面和傾斜項的合并，在分析表面上每個(gè)像素的中心創(chuàng )建一個(gè)新的子束來(lái)再現原始光場(chǎng)。相干光場(chǎng)重新采樣對話(huà)窗口如圖7所示。
在此擴束器的例子中，光場(chǎng)的重新采樣就在與原始光源具有相同的光束參數的第一個(gè)（發(fā)散）透鏡的前面，因為它已經(jīng)確定該束腰和發(fā)散是合理的。我們創(chuàng )建了比發(fā)散透鏡（半孔徑2mm）的尺寸略小的分析面，調整分割數來(lái)產(chǎn)生于初始光源（73）相同的束腰。這種調整是有必要的，因為初始光源是定義在圓形網(wǎng)格上，而新的光場(chǎng)是定義在方形分析表面上。
使用高級光線(xiàn)追跡功能，追跡從光源到第一個(gè)透鏡的光線(xiàn)，該功能可以在光線(xiàn)追跡的過(guò)程中實(shí)現精確的控制，包括在特定的平面上停止光線(xiàn)追跡。然后光場(chǎng)可以被重新采樣(Raytrace > Spatially Resample Scalar Field…)，刪除現存的光線(xiàn)，并用新定義的光線(xiàn)替換它們。重新采樣場(chǎng)應該與初始場(chǎng)相同，唯一的不同是用于定義它的光線(xiàn)。然后使用Trace Existing Rays或Trace and Render Existing命令，追跡系統剩余部分的光線(xiàn)。
圖7 光場(chǎng)重新采樣功能對話(huà)框
除了解決相干光線(xiàn)錯誤，相干光場(chǎng)重采樣也可以在一個(gè)表面欠采樣是的情況下使用。例如，如果擴束軌跡長(cháng)度很大，第二透鏡將滿(mǎn)溢和欠采樣，如圖8所示。因為前面所描述的最小網(wǎng)格尺寸的限制，從而增加源光線(xiàn)的數量不是一個(gè)合適的解決方案。相干光場(chǎng)重采樣特性可用于在第二透鏡處重現光場(chǎng)，并合成具有透鏡的足夠空間采樣的新光線(xiàn)網(wǎng)格。
圖8 大倍率遠焦望遠鏡致使第二透鏡的欠采樣。
相干標量場(chǎng)分析
新光線(xiàn)合成之后，它們可以通過(guò)系統被追跡，而沒(méi)有相干光線(xiàn)錯誤，所得到的場(chǎng)可以分析。相干光場(chǎng)的能量、相位和波前可以用相干標量場(chǎng)分析工具進(jìn)行研究。圖9顯示了具有用紅色框出的可用繪圖選項的標量場(chǎng)菜單。它也給出了用于顯示和輸出圖像、縮放數據、平滑和修改圖像數據、顯示圖像統計和執行一個(gè)傅立葉變換的選項。圖10顯示了在擴束器輸出處的場(chǎng)能量、相位和波前。
圖9 當右鍵點(diǎn)擊圖像時(shí)顯示的標量場(chǎng)分析菜單，紅框顯示為可用繪圖。
圖10 FRED輸出圖像，顯示a)場(chǎng)能量、b)場(chǎng)相位、c)波前
FRED中部分相干性示例：衍射儀
用FRED可以模擬部分相干光源，通過(guò)集相干的點(diǎn)源為一體，每一個(gè)都具有不同的空間位置和波長(cháng)。在FRED部分相干的建模被限制在特殊情況下，這樣的定義才是有效的。
類(lèi)似上述的一個(gè)例子是衍射儀，可用于測量光源的空間相干性的干涉儀。本例是基于由Thompson和Wolf[1]描述的設置，如圖11所示。一個(gè)擴展的非相干的光源 ，通過(guò)一個(gè)透鏡 成像，聚焦到一個(gè)小孔 上。由 產(chǎn)生的光經(jīng)過(guò) 準直和 聚焦到平面F上。含有兩個(gè)小孔 和 的不透明的屏A位于 和 之間�？讖娇梢允侨我獾某叽绾托螤�，可以放置在平面A上的任何位置。
圖11 衍射儀
圖11的輪廓斷面可以在FRED中通過(guò)在小孔
上不同波長(cháng)、隨機位置的點(diǎn)光源的聚集來(lái)建模。如果波長(cháng)在一個(gè)小的帶寬內，這一光源的聚集滿(mǎn)足一個(gè)由Born & Wolfe [2]給出的準單色光的定義。對于這個(gè)例子，使用了在0.579±0.002μm內的波長(cháng)。光源的每個(gè)波長(cháng)分量在平面F上獨立生成一個(gè)干涉圖樣。FRED歸納了相同波長(cháng)的相干性和不同波長(cháng)非相干性。因此，在平面F上總輻照圖案是每個(gè)波長(cháng)獨立相干成分的非相干總和。
因為只有小部分光線(xiàn)通過(guò)了小孔p1和 p2，所以上面描述的光線(xiàn)追跡是非常低效的。一個(gè)可以獲得相同結果的更加高效的方法是在透鏡 前面定義兩個(gè)光線(xiàn)的圓形網(wǎng)格。光線(xiàn)網(wǎng)格應類(lèi)似于兩個(gè)小孔（在x-y平面上有相同的間隔和位置），但尺寸稍大，以確保光線(xiàn)溢出小孔。兩個(gè)圓形光源的光線(xiàn)方向被指定為從孔徑 內的隨機位置始發(fā)。FRED有一個(gè)選項用于指定光線(xiàn)的方向，稱(chēng)為Focus to/from a point，這會(huì )產(chǎn)生由用戶(hù)定義的聚焦到一個(gè)點(diǎn)或從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)的光線(xiàn)。這兩個(gè)光源都在以稍有不同的波長(cháng)處創(chuàng )建了許多次，每一組網(wǎng)格定義成在 孔徑的隨機位置出發(fā)。圖12顯示了兩組光源，有延伸回到所述孔徑的光線(xiàn)和一個(gè)有限數量的光線(xiàn)，以幫助展示光源的創(chuàng )建�？偨Y這一過(guò)程，孔徑 中的一個(gè)隨機位置被選擇。兩個(gè)光源分別對應于小孔 和 （組成光源集），就定義在第一個(gè)透鏡前面。對于兩個(gè)光源的光線(xiàn)方向，指定為起源于所選擇的隨機位置。然后選擇另一個(gè)位置，創(chuàng )建兩個(gè)或更多的對應光源。對于許多光源，重復這一過(guò)程。在本例中，使用一個(gè)內置腳本創(chuàng )建了75組這樣的光源。目標是在小帶寬內的任意位置和波長(cháng)處，仿真許多點(diǎn)光源，它們已經(jīng)傳播到剛好在 前面的兩個(gè)區域，這樣它們就覆蓋了小孔 和 。圖13顯示了衍射儀的FRED模型。在第一個(gè)透鏡前面創(chuàng )建了光線(xiàn)，但是它們已經(jīng)擴展到 便于視覺(jué)表現。這一選項叫做Post-Creation Ray Propagation，在像這樣的情況下是有用的，它有助于可視化實(shí)際上不存在的光線(xiàn)。
圖12 創(chuàng )建的兩組光源類(lèi)似于兩個(gè)小孔，光線(xiàn)方向從左側的孔徑的隨機位置過(guò)來(lái)。不顯示透鏡是因為便于小孔的顯示。
圖13 衍射儀FRED模型。通過(guò)變形三維視圖（Anamorphic 3D View. Anamorphic 3D View.），系統已縮小Z方向以提供整個(gè)系統的視圖。
根據van Cittert-Zernike理論，1934年經(jīng)P.H. van Cittert獨立發(fā)展，后來(lái)到1938年又由F. Zernike發(fā)展，在
處的光源聚集提高了屏A上任意兩點(diǎn)p1和p2處場(chǎng)的相關(guān)性。van Cittert-Zernike理論建立了部分相干的復雜度如：
(4)
其中
(5,6)
J1是一階第一類(lèi)貝塞爾函數， p是小孔
的半徑，d是p1和p2之間中心-中心距離，R是 的焦距長(cháng)度，r1和r2是p1和p2偏離光軸的距離，
是平均波長(cháng)。
的振幅被稱(chēng)為空間相干度
。
我們調查了小孔間距d對空間相干度
的影響。在仿真中使用了以下的值： p=0.045mm，R=1505.6 mm， r1=r2=0（在軸上），
=0.579μm。
對d的依賴(lài)性是振蕩的，這是由于如圖14所示的貝塞爾函數。對于四個(gè)小孔間距（在圖14中通過(guò)點(diǎn)標記），通過(guò)FRED建模，它們在平面F上的干涉圖樣顯示在圖15中。FRED的仿真結果與Thompson and Wolf的結果吻合良好。
當兩個(gè)小孔處的強度相等并且時(shí)間相干性可以忽略時(shí)，這里就是這種情況，條紋可見(jiàn)度等于部分相干度。條紋可見(jiàn)度定義為：
(7)
其中Imax和Imin是條紋輻照度的最大和最小值。將FRED模型與部分相干度的理論值比較，使用中心條紋的最大和最小輻照度值，估計四個(gè)小孔間距每一個(gè)的條紋可見(jiàn)度。在圖14中紅色的X對應于估計的條紋可見(jiàn)度，這是基于圖15所示的干涉圖樣。正如圖14和15所示，基于FRED模型的近似值合理的靠近理論值。
圖14 衍射儀的部分相干度vs小孔間距。點(diǎn)代表在FRED模型使用的設置處的理論 值。紅色X對應于條紋可見(jiàn)度（等于 ），這是基于FRED圖（如圖15）計算得出。
圖15 四個(gè)不同小孔間距d在平面F上的條紋可見(jiàn)度，以及對應的部分相干度 和估計的條紋可見(jiàn)度V。
參考文獻
1. B.J. Thompson & E. Wolf, J. Opt. Soc. Amer., 47 (1957), p.895.
2. Born & Wolfe. Principle of Optics (6th Ed), Pergamon Press, Ch. 10, Sec. 4.3, p. 513
3. Hecht, Eugene. Optics (4th Ed), Addison Wesley, Ch 12.3, p. 571
